Question

從邊長(zhǎng)2a的正方形鐵片的四個(gè)角各截一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，要求長(zhǎng)方體的高度x與底面正方形邊長(zhǎng)的比不超過正常數(shù)t．
（1）把鐵盒的容積V表示為x的函數(shù)，并指出其定義域；
（2）x為何值時(shí)，容積V有最大值．

Answer 1

由題意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴

x＞0 2a-2x＞0 x 2a-2x ≤t

∴0＜x≤

2at

1+2t

∴函數(shù)V（x）=4（a-x）²•x的定義域?yàn)?(0，

2at

1+2t

]
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得 x=

a

3

（1）當(dāng)

a

3

≤

2at

1+2t

，即 t≥

1

4

時(shí)，
∵0＜x＜

a

3

時(shí)，V′＞0．
V（x）為增函數(shù)；

a

3

＜x≤

2at

1+2t

時(shí)，V′＜0．V（x）為減函數(shù)；
∴V（x）在 (0，

2at

1+2t

]上有極大值V（

a

3

），
∵x=

a

3

為唯一駐點(diǎn)，
∴當(dāng) x=

a

3

時(shí)，V有最大值

16

27

a3．
（2）當(dāng)

a

3

＞

2at

1+2t

，即 0＜t＜

1

4

時(shí)，
∵0＜x＜

2at

1+2t

時(shí)，V′＞0恒成立；
∴V（x）為增函數(shù)；
∴當(dāng) x=

2at

1+2t

時(shí)，V有最大值

8a3t

(1+2t)3

．