Question

6．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$）
（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標準煤？

Answer 1

分析 （1）由題意計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸方程的系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出線性回歸方程；
（2）由（1）求出的線性回歸方程計算x=100時$\stackrel{∧}{y}$的值，
再計算生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了多少．

解答 解：（1）由對照數(shù)據(jù)，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5；
且$\sum_{i=1}^{4}$xi2=86，$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，
∴回歸方程的系數(shù)為$\stackrel{∧}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（2）由（1）求出的線性回歸方程，計算x=100時
$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.35=70.35，
∴90-70.35=19.65（噸），
預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了19.65噸標準煤．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．