Question

14．已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x²+1
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)p=1時(shí)，若對(duì)?x＞0，f（x+1）+$\frac{a}{x+2}$＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$＜ln（n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性即可，具體的步驟是：①確定 f（x）的定義域；②求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；③在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；④確定 的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞（x+2）[1-ln（1+x）]，令h（x）=（x+2）[1-ln（1+x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（3）令a=2，得到ln（1+x）＞$\frac{x}{x+2}$（*），令x=$\frac{1}{k}$，（k∈N^*），即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，依次令k=1，2，3，…，n，得ln$\frac{2}{1}$＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{5}$，ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{7}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，將這n個(gè)式子左右兩邊分別相加即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{p}{x}$+2（p-1）x=$\frac{2（p-1{）x}^{2}+p}{x}$，
當(dāng)p≥1時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜p＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{p}{2（p-1）}}$．
則當(dāng)x∈（0，$\sqrt{-\frac{p}{2（p-1）}}$）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（ $\sqrt{-\frac{p}{2（p-1）}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{p}{2（p-1）}}$）上單調(diào)遞增，在（ $\sqrt{-\frac{p}{2（p-1）}}$，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）?x＞0，f（x+1）+$\frac{a}{x+2}$＞2恒成立??x＞0，ln（1+x）+$\frac{a}{x+2}$＞1??x＞0，a＞（x+2）[1-ln（1+x）]，
令h（x）=（x+2）[1-ln（1+x）]，
則h′（x）=-ln（1+x）-$\frac{1}{x+1}$，
x＞0時(shí)，顯然h′（x）＜0，
故h（x）在（0，+∞）遞減，
故x＞0時(shí)，h（x）＜h（0）=2，
故a的范圍是[2，+∞）；
（3）由（2）得，a=2，x＞0時(shí)，ln（1+x）+$\frac{2}{x+2}$＞1，
即ln（1+x）＞$\frac{x}{x+2}$（*），
在（*）中，令x=$\frac{1}{k}$，（k∈N^*），
得ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{\frac{1}{k}}{2+\frac{1}{k}}$，即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{1}{2k+1}$，
依次令k=1，2，3，…，n，得ln$\frac{2}{1}$＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{5}$，ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{7}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，
將這n個(gè)式子左右兩邊分別相加得
ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)難題．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想．