Question

（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面為矩形，且，
，，

（Ⅰ）平面與平面是否垂直？并說明理由；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（I）見解析；（Ⅱ）.

本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）第一問中要證明面面垂直關(guān)鍵是證明線面垂直，然后利用判定定理得到。
（2）第二問先根據(jù)線面角的定義，作出線面角，然后利用直角三角形的邊角的關(guān)系求解的得到。

（I）平面平面；   …………………1分
證明：由題意得且 
又，則    …………………………3分
則平面,                  ………………5分
故平面平面             ………………7分
（Ⅱ）解法1：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為ｙ軸建立
空間直角坐標(biāo)系如右圖示，則,, 可得,  9分
平面ABCD的單位法向量為，          ……………………………………11分
設(shè)直線PC與平面ABCD所成角為，則  13分
則，即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分
解法2：

由（I）知平面，∵面
∴平面ABCD⊥平面PAB,                                …………………………9分
在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則PE⊥平面ABCD，連結(jié)EC，
則∠PCE為直線PC與平面ABCD所成的角，              …………………………11分
在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,
又
∴ …………………………13分
在Rt△PEC中.………………14分