Question

8．如圖（1），拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM 交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；
（3）如圖（2）將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線拋物線于E、F兩點．問在y軸的負半軸上是否存在點P，使△PEF的內心在y 軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；
（2）配方后即可確定其頂點坐標，然后利用平移規(guī)律確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)線段與拋物線有唯一的公共點求得h的值或取值范圍即可；
（3）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，設MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過M，N作GH的垂線，垂足為G，H．根據(jù)△PMN的內心在y軸上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，從而△GMP∽△HNP，利用相似三角形對應邊成比例即可列出有關t的方程求解即可．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-3，0），B（-1，0）兩點
∴9a-3b+3=0且a-b+3=0
解得a=1，b=4
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3
（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點M（-2，-1）
∴直線OM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x
于是設平移的拋物線的頂點坐標為（h，$\frac{1}{2}$h），
∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+$\frac{1}{2}$h，．
①當拋物線經(jīng)過點E時，
∵C（0，9），
∴h²+$\frac{1}{2}$h=9，
解得h=$\frac{-1±\sqrt{145}}{4}$．
∴當$\frac{-1-\sqrt{145}}{4}$≤h＜$\frac{-1+\sqrt{145}}{4}$時，平移的拋物線與線段EF只有一個公共點．
②當拋物線與線段CD只有一個公共點時，
由方程組y=（x-h）²+$\frac{1}{2}$h，y=-2x+9．
得 x²+（-2h+2）x+h²+$\frac{1}{2}$h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+$\frac{1}{2}$h-9）=0，
解得h=4．
此時拋物線y=（x-4）²+2與線段CD唯一的公共點為（3，3），符合題意．
綜上：平移的拋物線與線段CD只有一個公共點時，
頂點橫坐標的值或取值范圍是h=4或$\frac{-1-\sqrt{145}}{4}$≤h＜$\frac{-1+\sqrt{145}}{4}$．
（3）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，
設EF的解析式為y=kx+3（k≠0）．
假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過E，F(xiàn)作GH的垂線，垂足為G，H．
∵△PEF的內心在y軸上，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴$\frac{GP}{PH}=\frac{GE}{HF}$，
∴$\frac{-{x}_{E}}{{x}_{F}}=\frac{{y}_{E}-t}{{y}_{F}-t}=\frac{k{x}_{E}+3-t}{k{x}_{F}+3-t}$
∴2kx_E•x_F=（t-3）（x_E+x_F）
由y=x²，y=kx+3．得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k，
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使△PEF的內心在y軸上．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．