Question

【題目】若橢圓的離心率等于，拋物線的焦點在橢圓的頂點上.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過的直線與拋物線交于、兩點，又過、作拋物線的切線、,當時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓的離心率的公式和橢圓中的關系，可以求出的值，最后可以求出拋物線的方程；

（2）設出直線的方程，設出、兩點坐標，把拋物線方程變成函數解析式形式，對函數進行求導，求出過、的拋物線的切線、的斜率，將直線的方程與拋物線方程聯立，消，得到一個關于的一元二次方程，利用根與系數關系，結合兩直線垂直它們的斜率的關系進行求解即可.

（1）已知橢圓的長半軸長為，半焦距，

由離心率得，

橢圓的上頂點為，即拋物線的焦點為，，

因此，拋物線的方程為；

（2）由題知直線的斜率存在且不為零，

則可設直線的方程為，、，

拋物線的函數解析式為，求導得，切線、的斜率分別為、，

當時，，即，

由，得，

由，解得或.

又，得.

因此，直線的方程為.