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已知橢圓C： $數學公式$ （a＞b＞0）的離心率為 $數學公式$ ，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+ $數學公式$ =0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P（4，0），Q是橢圓C上的點，連接PQ交橢圓C于另一點E，求直線PQ的斜率的取值范圍．

解：（1）由題意可得e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即c²= $\text{[math]}$ a²
∵以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓的方程為與直線x-y+ $\text{[math]}$ =0相切．
∴圓心到直線x-y+ $\text{[math]}$ =0的距離d= $\text{[math]}$ =1=b
∵a²=b²+c²=1+ $\text{[math]}$
∴a=2，b=1
∴橢圓C的方程為 $\text{[math]}$
（2）由題意可得，所求的直線的斜率k一定存在，故可設直線方程為y=k（x-4）
聯立方程 $\text{[math]}$ 可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0
∴△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）由題意可得e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可得a，c的關系，然后由圓心到直線x-y+ $\text{[math]}$ =0的距離d= $\text{[math]}$ =1=b可求b，結合a²=b²+c²進而可求橢圓方程
（2）由題意可設直線方程為y=k（x-4），由方程 $\text{[math]}$ 可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，則△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，解不等式可求
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，處理此類問題常用的方法是聯立方程，結合方程的思想進行求解

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已知橢圓C：

（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．
（�。┤魸M足

（O為坐標原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

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（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且橢圓C經過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

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①求橢圓C的方程.

②當⊿AMN的面積為時，求k的值.

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已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F₁，F₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且IG∥F₁F₂。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C(，0)求實數k的取值范圍。