Question

1．已知數集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥2）具有性質P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與$\frac{a_j}{a_i}$兩數中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質P，并說明理由；
（2）證明：a₁=1，且$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{{a_1^{-1}+a_2^{-1}+…+a_n^{-1}}}={a_n}$；
（3）當n=5時，若a₂=2，求集合A．

Answer 1

分析 （1）根據性質P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與$\frac{a_j}{a_i}$兩數中至少有一個屬于A，驗證給的集合集{1，3，4}與{1，2，3，6}中的任何兩個元素的積商是否為該集合中的元素；
（2）由性質P，知a_na_n＞a_n，故a_na_n∉A，從而1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$∈A，a₁=1．再驗證又由于$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$＜…＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a₂，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=a_n-1，從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=a₁+a₂+…+a_n，命題得證；
（3）根據（2），只要證明$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a₂即可求得集合A．

解答 解：（1）由于3×4，與$\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}$均不屬于數集{1，3，4}，
∴該數集不具有性質P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，$\frac{6}{2}$，$\frac{6}{3}$，$\frac{1}{1}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{3}{3}$，都屬于數集{1，2，3，6}，
∴該數集具有性質P．
（2）證明：∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性質P，
∴a_na_n與$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$中至少有一個屬于A，
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴a_na_n＞a_n
故a_na_n∉A．
從而1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$∈A，a₁=1．
∵1=a₁＜a₂＜…a_n，n≥2，∴a_ka_n＞a_n（k=2，3，4，…，n），
故a_ka_n∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性質P可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{k}}$∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$＜…＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a₂，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=a_n-1，
從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=a₁+a₂+…+a_n，
∴$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{{a_1^{-1}+a_2^{-1}+…+a_n^{-1}}}={a_n}$；
（3）由（2）知，當n=5時，
有$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=a₂，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=a₃，即a₅=a₂•a₄=a₃²，
∵1=a₁＜a₂＜…＜a₅，∴a₃a₄＞a₂a₄=a₅，∴a₃a₄∉A，
由A具有性質P可知$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A．
由a₂•a₄=a₃²，得$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$∈A，
且1＜$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=a₂，∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=a₂，
∴$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a₂
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ 是首項為1，公比為a₂等比數列，
即有集合A={1，2，4，8，16}．

點評 本題主要考查集合、等比數列的性質，考查運算能力、推理論證能力、分分類討論等數學思想方法．此題能很好的考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，側重于對能力的考查，屬于較難層次題．