Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AD=2，AB=1，AC=$\sqrt{3}$．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE；若存在，求出三棱錐P-ACE的體積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由勾股定理的逆定理得出AC⊥CD，故而CD⊥平面PAC；
（2）取PD中點(diǎn)E，連接NE，CE即可證明四邊形MNEC為平行四邊形，于是MN∥CE，于是V_P-ACE=V_E-PAC=$\frac{1}{2}{V}_{D-PAC}$．

解答 證明：（1）∵AD=2，AC=$\sqrt{3}$，CD=AB=1，
∴AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
（2）線段PD上存在一點(diǎn)E，使得MN∥平面ACE．
證明：取PD中點(diǎn)E，連接NE，CE，AE．
∵NE是△PAD的中位線，∴NE$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，又CM$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，
∴NE$\stackrel{∥}{=}$MC，
∴四邊形MNEC是平行四邊形，
∴MN∥CE，
又CE?平面ACE，MN?平面ACE，
∴MN∥平面ACE．
即E為PD中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面ACE．
∴V_P-ACE=V_E-PAC=$\frac{1}{2}{V}_{D-PAC}$=$\frac{1}{6}{S}_{△PAC}•CD$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．