Question

18．我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”．已知F₁、F₂是一對相關(guān)曲線的焦點，P是它們在第一象限的交點，當∠F₁PF₂=30°時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率是（　�。�

• A． 7-4$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 4-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：設(shè)焦點在x軸上，橢圓和雙曲線方程，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$，且c=c₁，a²-b²=${a}_{1}^{2}+_{1}^{2}$=c²，$\frac{c}{a}•\frac{c}{a_1}=1（*）$，根據(jù)余弦定理，求得$b_1^2=（7-4\sqrt{3}）{b^2}$，由離心率公式即可求得e的值．

解答 解：由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（a＞b＞0）
雙曲線方程為$\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$，且c=c₁．
由題意$\frac{c}{a}•\frac{c}{a_1}=1（*）$，
由∠F₁PF₂=30°，由余弦定理得：橢圓中$4{c^2}=4{a^2}-（2+\sqrt{3}）|{P{F_1}}||{P{F_2}}|$，
雙曲線中：$4{c^2}=4a_1^2+（2-\sqrt{3}）|{P{F_1}}||{P{F_2}}|$，
可得$b_1^2=（7-4\sqrt{3}）{b^2}$，代入（*），
${c^4}=a_1^2{a^2}=（{c^2}-b_1^2）{a^2}=（8-4\sqrt{3}）{c^2}{a^2}-（7-4\sqrt{3}）{a^4}$，
即${e^4}-（8-4\sqrt{3}）{e^2}+（7-4\sqrt{3}）=0$，
得${e^2}=7-4\sqrt{3}$，即$e=2-\sqrt{3}$，
故答案選：B．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運用定義法和離心率公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．