設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．


解析 (1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝.又f′(x)＝a＋，于是

解得故f(x)＝x－.

(2)證明　設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，

由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點(diǎn)坐標(biāo)為.

令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．

所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為

|2x0|＝6.

故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域?yàn)?i>M.當(dāng)x∈M時(shí)，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相應(yīng)的x的值．

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某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長x、y應(yīng)為(　　)．

A．x＝15，y＝12                                    B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10                                    D．x＝10，y＝14

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝f′sin x＋cos x，則f＝________.

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求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

y＝log2(2x2＋3x＋1)．

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函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝處有極值，則ab的值為(　　)

A．2              B．－2           C．3              D．－3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值.

(1)求a，b的值；

(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：

3x－y＋1＝0，若x＝時(shí)，y＝f(x)有極值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為

(　　)．

A．1＋                              B．1－

C．1±                              D．－1－

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