Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=a，AA₁=2a．
（1）求證：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）求兩平面AB₁D₁與C₁BD之間的距離．
（注：兩平行平面之間的距離是其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離）

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出BB₁D₁D是平行四邊形，BD∥B₁D₁，從而得到B₁D₁∥平面C₁BD，同理AD₁∥平面C₁BD，由此能證明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．
（2）法一：連接B₁D，得三棱錐B₁-C₁BD，設(shè)平面AB₁D₁與C₁BD之間的距離為h，由此利用等積法能求出平面AB₁D₁與C₁BD之間的距離．
（2）法二：連接AC、A₁C₁，設(shè)AC∩BD=O、A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接OO₁、C₁O，作O₁E⊥C₁O，垂足為E，由已知條件推導(dǎo)出O₁E是平面C₁BD與平面AB₁D₁之間的距離，由此能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴BB₁∥AA₁∥DD₁，BB₁=AA₁=DD₁…（1分）
∴BB₁D₁D是平行四邊形，BD∥B₁D₁…（2分）
又B₁D₁?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，∴B₁D₁∥平面C₁BD…（4分）
同理AD₁∥平面C₁BD…（5分）
又AD₁∩B₁D₁=D₁，∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD…（6分）
（2）解法一：連接B₁D，得三棱錐B₁-C₁BD，設(shè)平面AB₁D₁與C₁BD之間的距離為h，
依題意，VB1-C1BD=

1

3

×S△C1BD×h…（7分）
VB1-C1BD=VD-BB1C1=

1

3

×S△BB1C1×CD=

1

3

×

1

2

×BB1×B1C1×CD=

1

3

a3…（9分）
連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接C₁O，則BO=DO=

2

2

a…（10分）
BC1=DC1=

5

a…（11分）
從而C₁O⊥BD，且C1O=

BC12-BO2

=

3 2

2

a…（12分）

1

3

×

1

2

×BD×C1O×h=

1

3

a3，即

1

3

×

1

2

×

2

a×

3 2

2

a×h=

1

3

a3…（13分）
解得h=

2

3

a，∴平面AB₁D₁與C₁BD之間的距離為

2

3

a…（14分）
（2）解法二：連接AC、A₁C₁，設(shè)AC∩BD=O、A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
連接OO₁、C₁O，作O₁E⊥C₁O，垂足為E…（7分）
依題意，A₁A⊥平面ABCD，所以A₁A⊥BD…（8分）
ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，AB=BC，
∴AC⊥BD，A₁A∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁…（9分）
∵BD?平面C₁BD，∴平面C₁BD⊥平面ACC₁A₁…（10分）
∵O₁E⊥平面C₁BD，∴O₁E是平面C₁BD與平面AB₁D₁之間的距離…（11分）
在△OO₁C₁中，OO₁=AA₁=2a，O1C1=

2

2

a…（12分）
OO₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∠OO1C1=900，OC1=

OO12+O1C12

=

3 2

2

a…（13分）
∴所求距離O1E=

OO1×O1C1

OC1

=

2

3

a…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的證明，考查兩平行平面間距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．