Question

設(shè)橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，長軸長為6

2

，設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于a，b，c的方程組；

2a=6 2 c a = 2 2 b2=a2-c2

解之即得a，b，從而寫出所求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當(dāng)θ≠

π

2

，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得|AB|+|CD|的最小值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）

2a=6 2 c a = 2 2 b2=a2-c2

?

a=3 2 c=3 b=3

所求橢圓M的方程為

x2

18

+

y2

9

=1…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)θ≠

π

2

，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ）有

y=kx-3k x2 18 + y2 9 =1

?（ 1+2k² ）x²-12k²x+18（ k²-1 ）=0
設(shè)點(diǎn)A （ x₁，y₁ ），B （ x₂，y₂ ）有x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[( 12k2 1+2k2 )2-4× 18(k2-1) 1+2k2 ]

=

6 2 (1+k2)

1+2k2

又因?yàn)閗=tanθ=

sinθ

cosθ

代入**式得|AB|=

6 2

cos2θ+sin2θ

=

6 2

1-sin2θ+2sin2θ

=

6 2

1+sin2θ

當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，直線AB的方程為x=3，此時(shí)|AB|=3

2

而當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，|AB|=

6 2

1+sin2θ

=3

2

∴|AB|=

6 2

1+sin2θ

同理可得|CD|=

6 2 (1+k2)

2+k2

=

6 2

1+cos2θ

有|AB|+|CD|=

6 2

1+sin2θ

+

6 2

1+cos2θ

=

18 2

2+ 1 4 sin2θ

因?yàn)閟in2θ∈[0，1]，所以 當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時(shí)，|AB|+|CD|有最小值是8

2

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．