Question

13．三個(gè)女生和四個(gè)男生排成一排
（Ⅰ）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？
（Ⅱ）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？
（Ⅲ）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？

Answer 1

分析 （Ⅰ）用捆綁法，分兩步進(jìn)行，先3名女生看為一個(gè)整體，再將其與4名男生進(jìn)行全排列，分別求出其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）用插空法，分兩步進(jìn)行，先將4名男生全排列，有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，分別求出其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（Ⅲ）用排除法，首先計(jì)算7人進(jìn)行全排列的情況數(shù)目，再計(jì)算兩端都站女生即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個(gè)位置，的情況數(shù)目，用排除法即可得答案

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，用捆綁法，3名女生看為一個(gè)整體，考慮其順序有A₃³種情況，
再將其與4名男生進(jìn)行全排列，有A₅⁵種情況，
則共有A₅⁵×A₃³=720種排法；
（Ⅱ）用插空法，先將4名男生全排列，有A₄⁴種情況，
排好后，有5個(gè)空位，在其中任選3個(gè)，安排3名女生，有A₅³種情況，
則共有A₄⁴A₅³=1440種排法；
（Ⅲ）用排除法，7人進(jìn)行全排列，有A₇⁷種排法，
兩端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再將剩余的5人安排在其他5個(gè)位置，有A₃²•A₅⁵種站法，
則共有A₇⁷-A₃²•A₅⁵=4320種排法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的運(yùn)用，注意優(yōu)先分析特殊位置、特殊元素；其次要掌握不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法等常見問題的處理方法．