Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在x=2處取得極值為c-16．
（1）求a，b的值；   
（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[3，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)f′（2）=0，f（2）=c-16，即可求得a，b值；
（2）由（1）求出f（x）的極大值，由極大值為28，可求出c值，然后求出f（-3），f（3），及函數(shù)在區(qū)間[-3，3]上的極值，其中最大者最大值．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=ax³+bx+c，故f′（x）=3ax²+b，
由于f（x）在點(diǎn)x=2處取得極值，
故有

f′(2)=0  f(2)=c-16

，即

12a+b=0 8a+2b+c=c-16

，
化簡(jiǎn)得

12a+b=0  4a+b=-8

，解得

a=1  b=-12

，
則a，b的值分別為1，-12．
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12，
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在∈（-∞，-2）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)．
由此可知f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=16+c，
f（x）在x=2處取得極小值f（2）=-16+c．
由題意知16+c=28，解得c=12．此時(shí)，f（-3）=21，f（3）=3，f（2）=-4，
所以f（x）在[-3，3]上的最大值為28．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值之間的關(guān)系，屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題．