Question

如圖，多面體ABCDS中面ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=AD，E為CD四等分點（緊靠D點）．
（I）求證：AE與⊥平面SBD
（II）求二面角A-SB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接根據(jù)條件得到SD⊥平面ABCD，推出SD⊥AE；在結(jié)合△ADE∽△ABD得到AE⊥BD即可證明結(jié)論；
（II）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出兩個半平面的法向量，再代入向量的夾角計算公式即可．
解答：解：（I）∵SD⊥AD，SD⊥AB
∴SD⊥平面ABCD
∴SD⊥AE                               …（2分）
又△ADE∽△ABD，
∴AE⊥BD
∴AE⊥平面SBD                             …（5分）
（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系
S（a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2A），C（0，0，2a），D（0，0，0）．
∴=（a，0，0），=（0，a，2a）
設(shè)面SBD的一個法向量為=（x，y，z）
∴?⇒=（0，2，-1）…（9分）
又∵=（0，0，2a），=（-a，a，0）
設(shè)面SAB的一個法向量為=（x，y，z）．
∴?⇒=（1，，0）．
∴cos＜，＞====，
所以所求的二面角的余弦為…（14分）
點評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．解決問題的關(guān)鍵在于先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出兩個半平面的法向量．