Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為,對任意實數(shù),都有.

（1）若， ，且，求， 的值；

（2）若為常數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，

①驗證函數(shù)滿足題中的條件；

②若函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】(1) ， .（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)， ， ，解方程組即可得到答案；（2）①根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計算f（x）+f（y）與.并進(jìn)行比較，可得答案；②把函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點個數(shù)問題.

試題解析：

（1）對題中條件取，得，

再取，得，則，

即函數(shù)在內(nèi)為奇函數(shù).

所以，

又，

解得， .

（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，則

此時，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，且有意義.

①由，得，則對任意實數(shù),

有，

，

所以.

②由，得，令則

作出圖像

由圖可知，當(dāng)時，只有一個，對應(yīng)有3個零點；

當(dāng)時，只有一個，對應(yīng)只有一個零點；

當(dāng)時， ，此時， ， ，

由

得在時， ，三個分別對應(yīng)一個零點，共3個，

在時， ，三個分別對應(yīng)1個，1個，3個零點，共5個.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)只有1零點；

當(dāng) 或時，函數(shù)有3零點；

當(dāng)時，函數(shù)有5點.