Question

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=( 1 2 )an，且b1+b2+b3= 21 8 ，      b1•b2•b3= 1 8 ，求{an}的通項．

．

Answer 1

分析：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則有a_n+1-a_n=d，根據(jù)題中數(shù)列{b_n}的通項公式及同底數(shù)冪的除法法則進行運算，得到

bn+1

bn

為定值，確定出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，設公比為q，由等式b₁•b₂•b₃=

1

8

，利用等比數(shù)列的性質(zhì)變形，求出b₂的值，再利用等比數(shù)列的通項公式化簡b₁+b₂+b₃=

21

8

，把求出的b₂代入得到關于q的方程，求出方程的解得到q的值，利用等比數(shù)列的通項公式表示出b_n，把b₂及q的值代入，整理后得到以

1

2

為底數(shù)的冪，其指數(shù)即為a_n的通項公式．

解答：解：設d為{a_n}的公差，則有a_n+1-a_n=d，
∵

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=（

1

2

）^d為常數(shù)，…（2分）
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，設其公比為q，
∵b₁•b₂•b₃=

1

8

，
∴

1

q

•b₂•b₂•b₂•q=

1

8

，即b₂³=

1

8

，
∴b₂=

1

2

，…（4分）
∵b₁+b₂+b₃=

21

8

，
∴

1

2q

+

1

2

+

q

2

=

21

8

，∴q=

1

4

或4．…（6分）
當q=

1

4

時，b_n=b₁•q^n-1=b₂q^n-2=

1

2

•（

1

4

）^n-2=（

1

2

）^2n-3，從而a_n=2n-3；…（8分）
當q=4時，b_n=b₂•q^n-2=

1

2

•4^n-2=（

1

2

）^-2n+5，從而a_n=-2n+5，…（10分）
∴a_n=2n-3或a_n=-2n+5．…（11分）

點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的確定，等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關鍵．