Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）且f（1）=0且存在實數(shù)m使f（m）=-a，試推理f（x）在[0，+∞）上是否為單調(diào)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（m）=-a即知方程ax²+bx+c+a=0有實數(shù)根，所以△=b²-4a（a+c）≥0，而由f（1）=0容易得到a＞0，c＜0，a+b＞0，以及a+c=-b，所以△=b（4a+b）≥0，所以可判斷出b≥0，所以f（x）的對稱軸x=-

b

2a

≤0，所以便得到f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

解答： 解：∵存在實數(shù)m使f（m）=-a；
∴方程ax²+bx+c+a=0有實根；
∴△=b²-4a（a+c）≥0 ①；
∵f（1）=0；
∴a+b+c=0，又a＞b＞c；
∴a＞0，c＜0；
∴將a+c=-b帶入①得：
b²+4ab=b（4a+b）≥0；
∵a+b=-c＞0，a＞0；
∴4a+b＞0；
∴b≥0；
∴-

b

2a

≤0，x=-

b

2a

是f（x）的對稱軸；
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：考查一元二次方程有實根時判別式△的取值情況，二次函數(shù)的對稱軸，及二次函數(shù)的單調(diào)性．