Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0．b＞0)與橢圓

x2

18

+

y2

14

=1有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(3，

7

)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）以P（1，2）為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程可求其焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)A(3，

7

)在雙曲線C上，根據(jù)雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，即可求出所求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入A、B在雙曲線方程得

x 2 1 - y 2 1 =2 x 2 2 - y 2 2 =2

，兩方程相減，借助于P（1，2）為中點(diǎn)，可求弦AB所在直線的斜率，進(jìn)而可求其方程．

解答：解：（1）由已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
由雙曲線定義||AF₁|-|AF₂||=2a，
∴

25+7

-

1+7

=2a
∴a=

2

，c2=4，
∴b²=2
∴所求雙曲線為

x2

2

-

y2

2

=1…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為A、B在雙曲線上
∴

x 2 1 - y 2 1 =2 x 2 2 - y 2 2 =2

，兩方程相減得：得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

y1+y 2

=

2

4

=

1

2

，
∴kAB=

1

2

∴弦AB的方程為y-2=

1

2

(x-1)即x-2y+3=0
經(jīng)檢驗x-2y+3=0為所求直線方程．…（12分）

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查弦中點(diǎn)問題，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．