Question

【題目】函數f（x）=ax3﹣3x+1 對于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a 的取值范圍為（ ）
A.[2，+∞）
B.[4，+∞）
C.{4}
D.[2，4]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①當x=0時，f（x）=1≥0，對于a∈R皆成立．
②當0＜x≤1時，若總有f（x）≥0，則ax3﹣3x+1≥0，∴ ，
令g（x）= ，g′（x）= = ，令g′（x）=0，解得x= ．
當0 時，g′（x）＞0；當 時，g′（x）＜0．
∴g（x）在x= 時取得最大值，g（ ）=4，∴a≥4．
③當﹣1≤x＜0時，若總有f（x）=0，則 ax3﹣3x+1≥0，∴a≤ ．
令h（x）= ，則h′（x）= ≥0，
∴h（x）在[﹣1，0）上單調遞增，
∴當x=﹣1時，h（x）取得最小值，h（﹣1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函數f（x）=ax3﹣3x+1 對于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a必須滿足 ，解得a=4．
∴a 的取值范圍為{4}．
故選C．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．