Question

已知如圖，直線l：x+y-5=0，圓C經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與直線l相切，圓心C在第一象限．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求∠APB的最大值，以及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由題知，設(shè)圓心C（2，b），b＞0，半徑為r，利用圓C經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且與直線l相切，建立方程組，求出圓心與半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）令圓C與直線l相切于P₀點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知∠APB＜∠AQB=∠AP₀B，所以P取切點(diǎn)P₀時(shí)，∠APB取得最大值，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題知，設(shè)圓心C（2，b），b＞0，半徑為r，
則

r= (2-1)2+(b-0)2 r= |2+b-5| 1+1

，解得

b=1 r= 2

，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+（y-1）²=2； …（4分）
（Ⅱ）如圖，令圓C與直線l相切于P₀點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知∠APB＜∠AQB=∠AP₀B，所以P取切點(diǎn)P₀時(shí)，∠APB取得最大值，…（6分）
由C（2，1），可得直線lCP0：y=x-1，由

y=x-1 x+y-5=0

解得P₀（3，2），
又△AP₀B為等腰直角三角形，則∠AP₀B=45°，
所以∠APB最大值為45°，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．