Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

且過點(diǎn)（4，-

10

）
（Ⅰ）求雙曲線方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的條件，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

（Ⅰ）∵離心率e=

2

∴設(shè)所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
則由點(diǎn)（4，-

10

）在雙曲線上
知λ=4²-（-

10

）²=6
∴雙曲線方程為x²-y²=6
（Ⅱ）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上
則3²-m²=6∴m²=3
由雙曲線x²-y²=6知F₁（2

3

，0），F(xiàn)₂（-2

3

，0）
∴

MF1

•

MF2

=(2

3?

-3，-m)•(-2

3?

-3，-m)=m2-(2

3?

)2+9=0
∴

MF1

⊥

MF2

，故點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的雙曲線上．
（Ⅲ）S_△F1MF2=

1

2

×2C×|M|=C|M|=2

3

×

3

=6