Question

已知θ∈（

π

2

，π），

1

sinθ

+

1

cosθ

=2

2

，則sin（2θ+

π

3

）=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：由已知條件易得sin2θ，結合角的范圍和同角三角函數基本關系可得cos2θ，由兩角和的正弦公式可得．

解答： 解：∵

1

sinθ

+

1

cosθ

=2

2

，∴

sinθ+cosθ

sinθcosθ

=2

2

，
∴sinθ+cosθ=2

2

sinθcosθ，
平方可得8（sinθcosθ）²-2sinθcosθ-1=0
解得sinθcosθ=-

1

4

，或

1

2

∵θ∈（

π

2

，π），∴sinθcosθ＜0，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-

1

2

，
∴sinθ+cosθ=-

2

2

，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=

3

4

∴sinθ-cosθ=

6

2

，
∴（sinθ-cosθ）（sinθ+cosθ）=-

3

2

=sin²θ-cos²θ=-cos2θ
∴cos2θ=-

3

2

，
∴sin（2θ+

π

3

）=

1

2

sin2θ+

3

2

cos2θ=-

1

4

+

3

4

=

1

2

；
故答案為：

1

2

點評：本題考查兩角和與差的三角函數運算，涉及一元二次方程的解法和同角三角函數的基本關系，屬中檔題．