19.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0,-$\sqrt{3}$),F(xiàn)2(0,$\sqrt{3}$),離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,若點(diǎn)P在橢圓上,且$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{2}{3}$,則∠F1PF2的大小為( 。
A.$\frac{π}{12}$B.$\frac{π}{6}$C.$\frac{π}{4}$D.$\frac{π}{3}$

分析 由題意可設(shè)題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),可得:c=$\sqrt{3}$,e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{c}{a}$,a2=b2+c2,聯(lián)立解出可得:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{4}$+x2=1.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由橢圓定義可得m+n=4,由$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{2}{3}$,可得mncos∠F1PF2=$\frac{2}{3}$,利用余弦定理可得:(2c)2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,聯(lián)立即可得出.

解答 解:由題意可設(shè)題意的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
則c=$\sqrt{3}$,離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{c}{a}$,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=2,b=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{4}$+x2=1.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,
則m+n=4,
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=$\frac{2}{3}$,∴mncos∠F1PF2=$\frac{2}{3}$,
又(2c)2=$(2\sqrt{3})^{2}$=m2+n2-2mncos∠F1PF2
∴12=42-2mn-2×$\frac{2}{3}$,解得mn=$\frac{4}{3}$.
∴$\frac{4}{3}$cos∠F1PF2=$\frac{2}{3}$,
∴cos∠F1PF2=$\frac{1}{2}$,
∴∠F1PF2=$\frac{π}{3}$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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9.對(duì)于函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}sinx,當(dāng)sinx≥cosx\\ cosx,當(dāng)sinx<cosx\end{array}$,給出下列四個(gè)命題:
①該函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1];
②當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z)時(shí),該函數(shù)取得最大值;
③該函數(shù)是以為π最小正周期的周期函數(shù);
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π<x<2kπ+$\frac{3}{2}$π時(shí),f(x)<0,
上述命題中錯(cuò)誤的是①②③.

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10.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x+2-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$且f(x)>0的解集為(-1,0)∪(0,2).
(1)求k的值;
(2)如果實(shí)數(shù)t同時(shí)滿足下列兩個(gè)命題;
 ①?x∈($\frac{1}{2}$,1),t-1<f(x)恒成立;
②?x0∈(-5,0),t-1<f(x0)成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程lnf(x)+2lnx=ln(3-ax)僅有一解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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14.sin77°cos47°-sin13°cos43°=$\frac{1}{2}$.

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4.設(shè)曲線y=f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為k=(x0-2)(x0+1)2,則( 。
A.f(x)有唯一的極小值f(2)B.f(x)既有極小值f(2)又有極大值f(-1)
C.f(x)在(-∞,2)上為增函數(shù)D.f(x)在(-∞,-1)∪(-1,2)上為增函數(shù)

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(Ⅱ) 若a,b,c是不全相等的實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.

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9.已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x≤10},C={x|a-5<x<a}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若非空集合C⊆(A∪B),求a的取值范圍.

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