精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知函數(shù)f（x）=sinx+cos（x- $數(shù)學(xué)公式$ ），x∈R．
（I）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（II）設(shè)△ABC中，角A、B的對(duì)邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A- $數(shù)學(xué)公式$ ），求角C的大�。�

解（1）f（x）=sinx+cos（x- $\text{[math]}$ ）=sinx+ $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx= $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ cosx
∴f（x）= $\text{[math]}$ （sinxcos $\text{[math]}$ +cosxsin $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）
令- $\text{[math]}$ +2kπ≤x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，（k∈Z），得- $\text{[math]}$ +2kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +2kπ
單調(diào)增區(qū)間為[- $\text{[math]}$ +2kπ， $\text{[math]}$ +2kπ]，（k∈Z）
再設(shè)x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +kπ，（k∈Z），得x= $\text{[math]}$ +kπ，（k∈Z），即為f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）∵f（A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin[（A- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ sinA，
∴b=2af（A- $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ asinA，
∵b：a=sinB：sinA，
∴sinB=2 $\text{[math]}$ sinAsinA，即2sinAcosA=2 $\text{[math]}$ sinAsinA
∵A是三角形內(nèi)角，sinA＞0
∴2cosA=2 $\text{[math]}$ sinA，得tanA= $\text{[math]}$
∵A∈（0，π），∴A= $\text{[math]}$ ，得B=2A= $\text{[math]}$
因此，C=π-（A+B）= $\text{[math]}$
分析：（1）將函數(shù)表達(dá)式展開(kāi)合并，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，得f（x）= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）．再根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸的公式，不難求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）由b=2af（A- $\text{[math]}$ ）結(jié)合（1）的表達(dá)式，得b=2 $\text{[math]}$ asinA，再用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式，算出cosA= $\text{[math]}$ sinA，得tanA= $\text{[math]}$ ，結(jié)合特殊角的正切值得到A= $\text{[math]}$ ，所以B=2A= $\text{[math]}$ ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得角C的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題將一個(gè)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和圖象的對(duì)稱(chēng)軸，著重考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和二倍的三角函數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當(dāng)x=

時(shí)，取得極小值

．
（1）求a，b的值；
（2）對(duì)任意x1，x2∈[-

，

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x），則稱(chēng)直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x-b

在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=2ax-

是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對(duì)于（0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（ 2x+

）+sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足2

•

ab，c=2

，f（A）=

，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=

a	2
1	b

有一個(gè)屬于特征值1的特征向量

-1

，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=

1	-1
0	1

，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=t-3

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；
（2）如果對(duì)任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．（I）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；（II）設(shè)△ABC中，角A、B的對(duì)邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大�。�