Question

已知函數(shù)．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若對任意的實數(shù)，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（III）若關(guān)于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出導函數(shù)，令導函數(shù)為0求出兩個根，判斷出根兩邊的導數(shù)的符號，求出函數(shù)的極值即最值．
（II）分離出參數(shù)a，構(gòu)造兩個新函數(shù)，通過求導數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出a的范圍．
（III）分離出參數(shù)b，構(gòu)造函數(shù)，通過求導數(shù)求出函數(shù)的極值，求出參數(shù)b的范圍．
解答：解：（I），令f'（x）=0，得或x=-1（舍）
當時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴是函數(shù)在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞對恒成立
若即恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得或
設；
依題意得a＞h（x）或a＜g（x）在恒成立
∵，
∴g（x），h（x）都在上遞增
∴

（3）由f（x）=-2x+b知，
令，則
當時，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在上遞增；當時，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在上遞減，而，∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有兩個不同實根等價于，解得
點評：解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍，通常通過構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)導數(shù)求出函數(shù)的最值，進一步求出參數(shù)的范圍．