3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2b-a}{c}$.
(1)求$\frac{sinB}{sinA}$的值;
(2)若cosC=$\frac{1}{4}$,c=2,求△ABC的面積S.

分析 (1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2sinB-sinA}{sinC}$,進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可化簡(jiǎn)得解$\frac{sinB}{sinA}$的值.
(2)由余弦定理可知$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{4}$,由(1)可知$\frac{sinB}{sinA}=2$,利用正弦定理可得$\frac{a}=2$,結(jié)合c=2即可求得b,a的值,利用三角形面積公式即可計(jì)算得解△ABC的面積S.

解答 解:(1)在△ABC中,由正弦定理得$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2sinB-sinA}{sinC}$,
整理得sin(A+C)=2sin(B+C),
又∵A+B+C=π,
∴sinB=2sinA,即$\frac{sinB}{sinA}=2$,
(2)由余弦定理可知$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{4}$①,
由(1)可知$\frac{sinB}{sinA}=2$,即$\frac{a}=2$②,
再由c=2,③,由①②③聯(lián)立求得b=2,a=1,
又$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$,
可得:$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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