14.在△ABC中,$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=|${\overrightarrow{BC}}$|=2,則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$.

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角形的面積公式,以及余弦定理消去cosA,結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進行求解即可.

解答 解:設(shè)A、B、C所對邊分別為a,b,c,
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=|${\overrightarrow{BC}}$|=2,得bccosA=a=2      ①,
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}bc$$\sqrt{1-\frac{4}{^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{^{2}{c}^{2}-4}$,
由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=4②,
由①②消掉cosA得b2+c2=8,所以b2+c2≥2bc,bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號,
所以S△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{^{2}{c}^{2}-4}$$≤\frac{1}{2}\sqrt{16-4}$=$\sqrt{3}$,
故△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$,
故答案為:$\sqrt{3}$.

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算、三角形面積公式不等式求最值等知識,綜合性較強,有一定難度.

練習(xí)冊系列答案
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$\overline x$$\overline y$$\overline w$$\sum_{i=1}^8{{{({x_i}-\overline x)}^2}}$$\sum_{i=1}^8{{{({w_i}-\overline w)}^2}}$$\sum_{i=1}^8{({x_i}-\overline x)•({{y_i}-\overline y})}$$\sum_{i=1}^8{{{({w_i}-\overline w)}^2}}•({{y_i}-\overline y})$
46.65636.8289.81.61 469108.8
表中wi=$\sqrt{x}$i,$\overline w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$wi
(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:
①年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
②年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為:$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{({u_i}-\overline u)({{v_i}-\overline v})}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({u_i}-\overline u)}^2}}}},\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$.

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