Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)A（1，0），B為直線x=4上任意一點(diǎn)，直線AB交圓O于不同兩點(diǎn)M，N．
（1）若MN=

14

，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若

MA

=2

AN

，求直線AB的方程；
（3）設(shè)

AM

=λ

MB

，

AN

=μ

NB

，求證：λ+μ為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AB的方程y=k（x-1），利用垂徑定理和點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合題意建立關(guān)于k的等式解出k=±1，可得直線AB的方程，進(jìn)而算出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），根據(jù)由

MA

=2

AN

求出用x₂、y₂表示x₁、y₁的式子，代入圓方程化簡(jiǎn)得到N點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的斜率公式算出AB的斜率，可得直線AB的方程；
（3）由

AM

=λ

MB

、

AN

=μ

NB

，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則算出λ=

x1-1

4-x1

、μ=

x2-1

4-x2

．由直線AB方程與圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)λ+μ關(guān)于x₁+x₂、x₁x₂的式子，可得λ+μ=0（定值）．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程y=k（x-1），即kx-y-k=0
∵MN=

14

，∴根據(jù)垂徑定理，得

14

=2

22-d2

，解之得d=

2

2

，
由點(diǎn)到直線的距離公式，得

|k|

k2+1

=

2

2

，解之得k=±1，
∴直線AB的方程y=±（x-1），
結(jié)合B的橫坐標(biāo)為4，代入直線方程求得y=±3，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（4，±3）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

MA

=2

AN

，得

x1=3-2x2 y1=-2y2

∴代入圓的方程，得

(3-2x2)2+(-2y2)2=4 x22+y22=4

，解之得

x2= 7 4 y2=± 15 4

，
∴直線AB的斜率為kAB=

± 15 4 -0

7 4 -1

=±

15

3

，可得直線AB的方程為y=±

15

3

(x-1)．
（3）設(shè)M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），
由

AM

=λ

MB

，得x₁-1=λ（4-x₁），解得λ=

x1-1

4-x1

，同理得到μ=

x2-1

4-x2

，
∴λ+μ=

5(x1+x 2)-2x1x2-8

16-4(x1+x2)

由

y=k(x-1) x2+y2=4

消去y，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0
∴

x1+x2= 2k2 1+k2 x1x2= k2-4 1+k2

，可得λ+μ=

5• 2k2 1+k2 -2• k2-4 1+k2 -8

16-4• 2k2 1+k2

=0，即λ+μ=0（定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．