Question

已知集合S_n={X|X=(x₁，x₂，…，x_n)，x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)．對(duì)于A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)∈S_n，定義A與B的差為A-B=(|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|)；A與B之間的距離為d(A，B)=，
(1)當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)A=(0，1，0，0，1)，B=(1，1，1，0，0)，求A-B，d(A，B)；
(2)證明：A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且(A-C，B-C)=d(A，B)；
(3)證明：A，B，C∈S_n，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．

Answer 1

解：(1)=（1，0，1，0，1），
d(A，B)=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3。
(2)證明：設(shè)，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110817/20110817110755734997.gif" border=0>，
所以，
從而，
又，
由題意知∈{0，1}（i=1，2，…n），
當(dāng)c_i=0時(shí)，；
當(dāng)c_i=1時(shí)，，
所以。
(3)證明：設(shè)，
d(A，B)=k，d(A，C)=l，d(B，C)=h，
記O=(0，0，…，0)∈S_n，
由(2)可知，
，
，
所以(i=1，2，…，n)中1的個(gè)數(shù)為k，
(i=1，2，…，n)中1的個(gè)數(shù)為l，
設(shè)t是使成立的i的個(gè)數(shù)，則h=l+k-2t，
由此可知，k，l，h三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。