Question

已知α、β是方程x²+ax+2b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a、b∈R，求2a+3b的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等關(guān)系與不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：令f（x）=x²+ax+2b，由于α、β是方程x²+ax+2b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a、b∈R，可得

f(0)=2b≥0 f(1)=1+a+2b≤0 f(2)=4+2a+2b≥0

，畫出可行域，設(shè)目標(biāo)函數(shù)l：2a+3b=m，則b=-

2

3

a+

m

3

．利用斜率的意義即可得出最值．

解答： 解：令f（x）=x²+ax+2b，
∵α、β是方程x²+ax+2b=0的兩根，
且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a、b∈R，
∴

f(0)=2b≥0 f(1)=1+a+2b≤0 f(2)=4+2a+2b≥0

畫出可行域：
可得A（-1，0），B（-2，0）．
設(shè)目標(biāo)函數(shù)l：2a+3b=m，則b=-

2

3

a+

m

3

．
由斜率的意義可知：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，m取得最大值，m=-2．
當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B（-2，0）時(shí)，m取得最小值，m=-4．
∴2a+3b的最大值為-2，最小值為-4．

點(diǎn)評：本題綜合考查了一元二次方程、線性規(guī)劃的有關(guān)知識，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．