Question

設橢圓中心為O，一個焦點F（0，1），長軸和短軸長度之比為t．
（1）求橢圓方程；
（2）設過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分交點為Q，點P在該直線上，且

|OP|

|OQ|

=t

t2-1

，當t變化時，求點P軌跡．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得c，根據(jù)a：b=t和a²-b²=1進而求得a²和b²，答案可得．
（2）設經(jīng)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q（x₁，y₁），P（x，y），直線方程與拋物線方程聯(lián)立求得x₁和y₁，進而根據(jù)

|OP|

|OQ|

=

|x|

|x1|

=t

t2-1

求得x和y的關系．

解答：解：（1）依題意知，c=1，a：b=t，即a=bt
∵a²-b²=1
∴b²=

1

t2-1

，a²=

t

t2-1

故橢圓方程為

y2

t2 t2-1

+

x2

1 t2-1

=1
（2）設經(jīng)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q（x₁，y₁），P（x，y），
則

y=tx y2 t2 t2-1 + x2 1 t2-1 =1

，解得

x1= 1 2(t2-1) y1= t 2(t2-1)

∵

|OP|

|OQ|

=t

t2-1

，
∴

x= t 2 y= t2 2

或

x=- t 2 y=- t2 2

而t＞1，于是點P的軌跡方程為：
x2=

2

2

y(x＞

2

2

)，x2=-

2

2

y(x＜-

2

2

)，
點P的軌跡為拋物線x²=

2

2

y在直線x=

2

2

右側的部分和拋物線x²=-

2

2

y在直線x=-

2

2

左側的部分．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程和拋物線與直線的關系．圓錐曲線是解析幾何的重點內(nèi)容，綜合性強，計算量大，對基礎知識要求很高．