Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C的焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，以M為圓心，MF₁為半徑作圓M，當(dāng)圓M與直線l：x=

a2

c

有公共點(diǎn)時(shí)，求△MF₁F₂面積的最大值．

Answer 1

（1）因?yàn)?c=2，且

c

a

=

1

2

，所以c=1，a=2．
所以b²=3．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則

x 20

4

+

y 20

3

=1．
因?yàn)镕₁（-1，0），

a2

c

=4，
所以直線l的方程為x=4．
由于圓M與l有公共點(diǎn)，
所以M到l的距離4-x₀小于或等于圓的半徑R．
因?yàn)镽²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
所以（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又因?yàn)?span >

y

20

=3(1-

x 20

4

)，
所以3-

3 x 20

4

+10x0-15≥0．
解得

4

3

≤x0≤12．又

x 20

4

+

y 20

3

=1，∴

4

3

≤x0＜2
當(dāng)x0=

4

3

時(shí)，|y0|=

15

3

，
所以(S△MF1F2)max=

1

2

×2×

15

3

=

15

3

．