Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{（1-a）{x^2}-ax+a}}{e^x}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）x≥0時(shí)，f（x）的最大值為a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出f′（1）和f（1）的值，由點(diǎn)斜式方程求出切線(xiàn)方程；
（2）將條件轉(zhuǎn)化為f（x）≤a在[0，+∞）恒成立，利用構(gòu)造函數(shù)法設(shè)$g（x）=\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}+{x}^{2}+x-1}$，由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），由函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求出g（x）在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，再求出最大值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$\left.\begin{array}{l}{f（x）=\frac{-x+1}{{e}^{x}}}\end{array}\right.$，
∴$\left.\begin{array}{l}{f′（x）=\frac{x-2}{{e}^{x}}，f′（1）=-\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，且f（1）=0，
∴f（x）在（1，0）處的切線(xiàn)方程是：y=$-\frac{1}{e}（x-1）$，
即切線(xiàn)方程是x+ey-1=0；…（4分）
（2）∵x≥0時(shí)，f（x）的最大值為a，
∴等價(jià)于f（x）≤a對(duì)于x≥0恒成立，
即$a≥\frac{x^2}{{{e^x}+{x^2}+x-1}}$對(duì)于x≥0恒成立，
令$g（x）=\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}+{x}^{2}+x-1}$，則$g′（x）=\frac{x（x-2）（1-{e}^{x}）}{{（{e}^{x}+{x}^{2}+x-1）}^{2}}$，
由g′（x）=0得，x=2或x=0（舍去），
∴g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴$g{（x）_{max}}=g（2）=\frac{4}{{{e^2}+5}}$，
∴$a的取值范圍是[\frac{4}{{{e^2}+5}}，\left.{+∞}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值關(guān)系的應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查了轉(zhuǎn)化思想，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．