Question

18．在△ABC中．
（1）|$\overrightarrow{AC}$|=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，求$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$．
（2）如果（1）的條件下，△ABC中，PQ是以A為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓的直徑，求$\overrightarrow{BP}•\overline{CQ}$的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值時向量$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）建立直角坐標(biāo)系，利用點的坐標(biāo)表示向量，然后求解數(shù)量積的值．
（2）利用向量的轉(zhuǎn)化為已知向量的關(guān)系，通過向量的數(shù)量積推出數(shù)量積的表達(dá)式，然后求解最值．

解答 解：（1）以BC，DA分別為x，y軸如圖，
|$\overrightarrow{AC}$|=2，AD⊥BC于D，∠BAD=45°，∠DAC=60°，
可得A（0，1），B（-1，0），C（$\sqrt{3}$，0），
D（0，0），
$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=（1，0）（-1，$\sqrt{3}$）=-1，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$=（1，1）（-1，$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}-1$．
（2）設(shè)$\overrightarrow{AQ}$與x軸正方向成角θ，即向量$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為：θ．
$\overrightarrow{BP}•\overline{CQ}$=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$）
=-$\overrightarrow{AP}$2+（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$--------（6分）
∵${\overrightarrow{AP}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC
=2$\sqrt{2}$cos105°
=1-$\sqrt{3}$----------（8分）
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$=-2+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AP}$+1-$\sqrt{3}$=-1-$\sqrt{3}$+|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{AP}$|cosθ
=-1-$\sqrt{3}$+（1+$\sqrt{3}$）×$\sqrt{2}$cosθ=-1-$\sqrt{3}$+（1+$\sqrt{3}$）cosθ---（10分）
當(dāng)$\overrightarrow{CB}$與$\overrightarrow{AP}$方向相同時，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$取得最大值0，此時$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{BC}$的方向相同；------（11分）
當(dāng)$\overrightarrow{CB}$與$\overrightarrow{AP}$方向相反時，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$取得最小值-2-2$\sqrt{3}$，此時$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{BC}$的方向相反------（12分）

點評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量的坐標(biāo)運算以及數(shù)量積的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．