Question

 

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),且,．

   （I）求橢圓的離心率；

   （II）求直線(xiàn)的斜率；

   （III）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)上有一點(diǎn)在 的外接圓上,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）由且，得，則，

解得．故離心率．…………………………………………3分

   （Ⅱ）解法1.由(Ⅰ)，得，所以，橢圓方程為．

設(shè)直線(xiàn)的方程為，即．

設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

消去，并整理得．

依題意，　　，解得．

由根與系數(shù)的關(guān)系得

　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、凇�

由點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，得，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

由①，③解得　

將代入②解得　　

解法2. 由(Ⅰ)，得，所以，橢圓方程為．

設(shè)直線(xiàn)的方程為,又設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

消去，并整理得,

依題意，,解得.

由點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，得.                           ①

由根與系數(shù)的關(guān)系得

,                                             ②　

,                                               ③

由①, ②得  ,代入③并整理得

   ,即,于是.

直線(xiàn)的斜率為．…………………………………………7分

(Ⅲ) 解法1. 由(Ⅱ)解法1可得(或由解法2得)

當(dāng)時(shí),,則,(如圖)

,的中點(diǎn)為.

于是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為

   　　,

直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)是的外接圓的圓心.

因此, 的外接圓的方程為  .

直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的方程為 .

于是,點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

由,解得所以,．

當(dāng)時(shí),同理可得．所以，．

解法2. 由(Ⅱ)得,

當(dāng)時(shí),,則,

由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知,于是三點(diǎn)共線(xiàn)．

因?yàn)辄c(diǎn)在的外接圓上，且，

所以，四邊形為等腰梯形．

由直線(xiàn)的方程為 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足．

因?yàn)?sub>，則，

解得　（舍），或，則，所以．

當(dāng)時(shí),同理可得．所以，．

解法3. 若點(diǎn)在的外接圓上,則.

由(Ⅱ)得,

當(dāng)時(shí),,則,

由直線(xiàn)的方程為 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足．

于是,

,

由向量的夾角公式得：,

則.

.

          ,

           ,

即,由得,則，所以．

當(dāng)時(shí),同理可得．所以，．………………13分

說(shuō)明：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和集合性質(zhì)、直線(xiàn)的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力．

由(Ⅱ)得，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)過(guò)橢圓的短軸的頂點(diǎn)，這個(gè)結(jié)論是下面的一般結(jié)論的一個(gè)特例．

命題：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),若，則該直線(xiàn)一定過(guò)或點(diǎn)．

證明．由知，，則，即

，所以，，．

設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則它們的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

　　　　　　　　

消去得．

由得，

于是，　　　　　　　　①

　　　，　　　　　　　　　②

解①得，代入②，

　　　　，

解出得，由及②得

　　　　　　　　�、�

把代入③式并整理得　，．命題得證．