Question

1．P為雙曲線2x²-y²=2右支上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=2S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+（1+$\frac{1}{λ}$）S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，則實數(shù)λ的值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由${S}_{△I{PF}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，由S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=${S}_{△I{PF}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，根據(jù)雙曲線的定義2a=$\frac{1}{λ}$×2c，即可求得λ的值．

解答 解：由雙曲線2x²-y²=2的標(biāo)準方程：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，依題意，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為r，
則${S}_{△I{PF}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=${S}_{△I{PF}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
由${S}_{△I{PF}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=2S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+（1+$\frac{1}{λ}$）S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，則${S}_{△I{PF}_{1}}$-S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{λ}$S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{λ}$|F₁F₂|，
∵P為雙曲線右支上一點，
∴2a=$\frac{1}{λ}$×2c，則1=$\frac{\sqrt{3}}{λ}$，則λ=$\sqrt{3}$，
∴實數(shù)λ的值$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的面積公式的運用，運算求解能力，屬于中檔題．