Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₄-a₂=8，且a₁、a₂、a₇成等比數(shù)列
（1）求{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）令bn=

1

Sn+3n

，n∈N*，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若Tn＞

a2

a4

，求項(xiàng)數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出數(shù)列的通項(xiàng)，利用a₄-a₂=8，且a₁、a₂、a₇成等比數(shù)列，求出首項(xiàng)與公差，即可確定結(jié)論；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求出前n項(xiàng)和為T_n，利用Tn＞

a2

a4

，即可求項(xiàng)數(shù)n的最小值．

解答：解：（1）設(shè)a_n=a₁+（n-1）d，則
∵a₄-a₂=8，∴a₁+3d-a₁-d=2d=8，∴d=4
∵a₁、a₂、a₇成等比數(shù)列
∴（a₁+4）²═a₁（a₁+24），
∴a₁=1．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3；
（2）S_n=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，
∴bn=

1

Sn+3n

=

1

2n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

∵

a2

a4

=

5

13

，Tn＞

a2

a4

∴

n

2(n+1)

＞

5

13

∴10（n+1）＜13n，
∴n＞

10

3

，
∵n∈N^*，∴n≥4．
∴n的最小值為4．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．