Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其n項(xiàng)和為S_n，且2

Sn+1

=an+1(n≥2).數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a1=3，b1=1，bn＞0，數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列．
（I）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）對(duì)2

Sn+1

=an+1(n≥2).兩邊平方得到①，再由n≥2時(shí)，有4S_n-1+4=（a_n-1+1）²②，利用①-②化簡得到數(shù)列{a_na_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，即可求出a_n的通項(xiàng)公式，因?yàn)閿?shù)列{b_n}為首項(xiàng)為1，公比設(shè)為q的等比數(shù)列，根據(jù)數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列求出q即可得到b_n的通項(xiàng)公式；
（II）S_n為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出S_n通項(xiàng)公式，然后把不等式的左邊變形化簡得到小于

3

4

即可．

解答：解：（I）依題意有：4S_n+4=（a_n+1）²①，所以當(dāng)n≥2時(shí)，有4S_n-1+4=（a_n-1+1）²②
①-②得：4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²化簡得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0
所以數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列．
故a_n=3+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1．
設(shè){b_n}的公比為q，則b_n=q^n-1
∵數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列
∴

ba2

ba1

=

b5

b3

=q2=64
解得q=8∴b_n=8^n-1

（II）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
＜

3

4

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，以及會(huì)對(duì)一個(gè)數(shù)列進(jìn)行求和．