Question

14．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^2}$+$\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1（a₁＞0，b₂＞0）與雙曲線C₂：：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^2}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a₁＞0，b₂＞0）有相同的焦點F₁，F(xiàn)₂，點P是兩曲線的一個公共點，e₁，e₂又分別是兩曲線的離心率，若PF₁⊥PF₂，則4e₁²+e₂²的最小值（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實軸為2a₂，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a₁²+a₂²=2c²，由此能求出4e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實軸為2a₂，
令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由橢圓定義|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a₁²+2a₂²，④
將④代入③，得a₁²+a₂²=2c²，
∴4e₁²+e₂²=$\frac{4{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{2{{a}_{2}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$≥$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查4e₁²+e₂²的最小值的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用．