Question

19．已知：P，Q是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上兩點，O為橢圓中心，OP⊥OQ，求證：
（1）$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$；
（2）O到直線PQ的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）通過設OP方程、OQ方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點間距離公式計算即得結(jié)論；
（2）通過O到直線PQ的距離d即為△POQ斜邊上的高，計算即得結(jié)論．

解答 證明：（1）設OP方程為：y=kx（k≠0），
則OQ方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得：${{x}_{P}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{k}^{2}{a}^{2}+^{2}}$，
∴|OP|²=（1+k²）•${{x}_{P}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}}$，
同理可得：|OQ|²=$\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{-2}）}{{k}^{-2}{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}^{2}+{a}^{2}}$，
于是$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}+^{2}+{a}^{2}+^{2}{k}^{2}}{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$；
（2）O到直線PQ的距離d即為△POQ斜邊上的高，
∴d=$\frac{|OP|•|OQ|}{|PQ|}$=$\sqrt{\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|PQ{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{|OP{|}^{2}•|OQ{|}^{2}}{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$（定值）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及到兩點間距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．