Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0）；
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切
①求實數(shù)a，b的值；
②求函數(shù)f(x)在[

1

e

，e]上的最大值．
（2）當(dāng)b=0時，若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：f′(x)=

a

x

-2bx，欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關(guān)于a，b的方程求得a，b的值．②研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．
（2）考慮到當(dāng)b=0時，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，轉(zhuǎn)化為alnx≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]恒成立問題，再令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，問題又轉(zhuǎn)化為m≤h（a）_min最后利用研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即得．

解答：解：（1）①f′(x)=

a

x

-2bx
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，
解得

a=1 b= 1 2

（3分）
②f(x)=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

當(dāng)

1

e

≤x≤e時，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1；
令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴f(x)在[

1

e

，1]上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，∴f(x)max=f(1)=-

1

2

（7分）（8分）
（2）當(dāng)b=0時，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
則alnx≥m+x對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，
即m≤alnx-x，對所有的a∈[0，

3

2

]，x∈(1，e2]都成立，（8分）
令h（a）=alnx-x，則h（a）為一次函數(shù)，m≤h（a）_min∵x∈（1，e²]，∴l(xiāng)nx＞0，∴h(a)在a∈[0，

3

2

]上單調(diào)遞增
∴h（a）_min=h（0）=-x，∴m≤-x對所有的x∈（1，e²]都成立，
∵1＜x≤e²，
∴-e²≤-x＜-1，∴m≤（-x）_min=-e²．（13分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．