3.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)寫出一個(gè)具體函數(shù),滿足題目條件;
(Ⅲ)求證:f(x)是奇函數(shù).

分析 (Ⅰ)令x=y=0,即可求出,
(Ⅱ)根據(jù)題意,寫出函數(shù)即可,
(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷.

解答 解:(Ⅰ)令x=y=0,則f(0+0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0,
(Ⅱ)f(x)=0或f(x)=2x等均可. 
(Ⅲ)證明:令y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),
所以f(0)=f(x)+f(-x),
因?yàn)閒(0)=0,
所以f(x)+f(-x)=0,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)是奇函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的問題,以及函數(shù)的奇偶性,關(guān)鍵是賦值,屬于基礎(chǔ)題.

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