Question

14．a(chǎn)²+b²+c²+x²+y²=16$\sqrt{21}$，求證：（ax+by）²+（bx+cy）²≤2016．

Answer 1

分析 只需考慮a，b，c，x，y≥0的情況即可，由對稱性，不妨設(shè)x≥y，當a≥c時，[（ax+by）²+（bx+cy）²]-[（ay+bx）²+（by+cx）²]=（a²-c²）（x²-y²）≥0，此時前者更大，故又只需考慮a≥c的情況．此時，由柯西不等式及均值不等式，化簡整理，即可得證．

解答 證明：只需考慮a，b，c，x，y≥0的情況即可，由對稱性，不妨設(shè)x≥y，
當a≥c時，[（ax+by）²+（bx+cy）²]-[（ay+bx）²+（by+cx）²]
=（a²-c²）（x²-y²）≥0，
此時前者更大，故又只需考慮a≥c的情況．
此時，由柯西不等式及均值不等式，可得
（ax+by）²+（bx+cy）²=（ax+$\frac{\sqrt{2}}$•$\sqrt{2}$y）²+（$\frac{\sqrt{2}}$•$\sqrt{2}$x+cy）²+
≤（a²+$\frac{^{2}}{2}$）（x²+2y²）+（$\frac{^{2}}{2}$+c²）（2x²+y²）
=$\frac{3}{2}$（x²+y²）（a²+b²+c²）-$\frac{1}{2}$（x²-y²）（a²-c²）
≤$\frac{3}{2}$（x²+y²）（a²+b²+c²）
≤$\frac{3}{2}$•（$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{2}$）²=$\frac{3}{2}$•$\frac{16×16×21}{4}$=2016．
故不等式得證．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用柯西不等式和均值不等式，考查化簡變形的能力和推理能力，屬于難題．