Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A₁A=2，
（Ⅰ）證明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一點P，使得，當(dāng)二面角A-B₁C₁-P的大小為30時，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩條直線所在的向量．利用向量之間的運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角．
（II）首先根據(jù)題意寫出P點的坐標(biāo)，再分別求出兩個平面的法向量，然后利用向量之間的運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個平面的夾角，即可求出λ的數(shù)值．
解答：解：根據(jù)題意可得：以DA，DC，DA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則---------------（1分）
（Ⅰ）由以上可得：
∴
∴AC⊥A₁B--------------（4分）
（Ⅱ）∵∴，
設(shè)平面AB₁C₁的一個法向量為，
因為
所以，
令則y₁=-3，x₁=0，
∴-----------------------（6分）
設(shè)平面B₁C₁P的一個法向量為，
因為
所以
∴-----------------（8分）
所以-------（10分）
解得：λ=2--------------------------------------------------------------（12分）
點評：本題考查的知識點證明線線垂直以及根據(jù)二面角的大小求參數(shù)，解決的方法是根據(jù)題意建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決問題，利用向量解題對學(xué)生的運(yùn)算能力有一定的要求．