Question

3．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別是A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．設(shè)點(diǎn)P（a，t）（t≠0），連接PA交橢圓于點(diǎn)C，坐標(biāo)原點(diǎn)是O．
（Ⅰ）證明：OP⊥BC；
（Ⅱ）若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求|t|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=$\sqrt{2}$，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$，求得b，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得直線PA的方程，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，直線BC的斜率k_BC=-$\frac{\sqrt{2}}{t}$，直線OP的斜率k_BC=$\frac{t}{\sqrt{2}}$，則k_BC•k_BC=-1，則OP⊥BC；
（Ⅱ）分別求得三角形ABC的面積和四邊形OBPC的面積，由題意即可求得|t|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：a=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
設(shè)直線PA的方程y=$\frac{t}{2\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{t}{2\sqrt{2}}（x+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
整理得：（4+t²）x²+2$\sqrt{2}$t²x+2t²-8=0，
解得：x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}{t}^{2}}{4+{t}^{2}}$，則C點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{2}{t}^{2}}{4+{t}^{2}}$，$\frac{4t}{4+{t}^{2}}$），
故直線BC的斜率k_BC=-$\frac{\sqrt{2}}{t}$，直線OP的斜率k_OP=$\frac{t}{\sqrt{2}}$，
∴k_BC•k_OP=-1，
∴OP⊥BC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：四邊形OBPC的面積S₁=$\frac{1}{2}$×丨OP丨×丨BC丨=$\frac{\sqrt{2}丨{t}^{2}+2t丨}{{t}^{2}+4}$，
則三角形ABC，S₂=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{4丨t丨}{4+{t}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}丨t丨}{{4+t}^{2}}$，
由$\frac{4\sqrt{2}丨t丨}{{4+t}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}丨{t}^{2}+2t丨}{{t}^{2}+4}$，整理得：t2+2≥4，則丨t丨≥$\sqrt{2}$，
∴丨t丨_min=$\sqrt{2}$，
|t|的最小值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．