Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在該橢圓上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與圓O：x²+y²=1相切，并橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率，$a=\sqrt{2}c$，將P代入橢圓方程，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由點(diǎn)到直線的距離公式，得n²=m²+1．將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用基本不等式即可求得△AOB面積S的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
∴$a=\sqrt{2}c$，
又∵a²=b²+c²，∴b=c，
故橢圓方程可寫為$\frac{x^2}{2}+{y^2}={c^2}$，
又∵點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在該橢圓上，
∴c²=1，
故所求橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．       …（5分）
（2）依題結(jié)合圖形知的斜率不可能為零，所以設(shè)直線l的方程為x=my+n（m∈R）．
∵直線l即x-my-n=0與圓O：x²+y²=1相切，
∴有：$\frac{|n|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=1$，得n²=m²+1．
又∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）滿足：$\left\{\begin{array}{l}x=my+n\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.$，消去整理得（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
其判別式△=4m²n²-4（m²+2）（n²-2）=8（m²-n²+2）=8，
又由求根公式有${y_{1、2}}=\frac{{-2mn±\sqrt{△}}}{{2（{m^2}+2）}}$．S_△AOB=$\frac{1}{2}$•丨$\overrightarrow{OA}$丨•丨$\overrightarrow{OB}$丨=$\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|$，
=$\frac{1}{2}|（m{y_1}+n）{y_2}-（m{y_2}+n）{y_1}|$=$\frac{1}{2}|n（{y_2}-{y_1}）|$，
=$\frac{1}{2}|n|×\frac{{\sqrt{△}}}{{{m^2}+2}}=\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{{（{m^2}+2）}^2}}}}$，
=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{m^2}+2}}•\frac{1}{{{m^2}+2}}}$．
∵$\frac{{{m^2}+1}}{{{m^2}+2}}+\frac{1}{{{m^2}+2}}=1$，
∴S_△AOB=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{{m^2}+1}}{{{m^2}+2}}•\frac{1}{{{m^2}+2}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)．
∴所求△AOB面積S的最大值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．