Question

【題目】已知的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，，且的面積為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)，試證：以為直徑的圓交軸于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，或.

【解析】

試題分析：(1)由三角形的面積得，由余弦定理得，結(jié)合橢圓的定義可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出、的坐標(biāo)，設(shè)，寫出，的方程，并求出其與的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)以為直徑的圓交軸于點(diǎn)，則，從而，可解出，從而問題得以解決.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，所以，.

由題意得，解得.

從而，結(jié)合，得，

故橢圓的方程為.

（2）由（1）得，，

設(shè)，則直線的方程為，

它與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線的方程為，它與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

再設(shè)以為直徑的圓交軸于點(diǎn)，則，從而，即

，即，解得.

故以為直徑的圓交軸于定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為或.