Question

已知函數(shù)f（x）=

(cosx-sinx)sin2x

cosx

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

24

，

11π

24

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的表達式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．
（Ⅱ）通過x滿足[

π

24

，

11π

24

]求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域，求解函數(shù)的最大值和最小值．

解答： （本小題滿分14分）
解：f（x）的定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，x∈R}k∈Z．k∈Z，f（x）=

(cosx-sinx)sin2x

cosx

=sin2x-2sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)-1     …（4分）
（I）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3

2

π且x≠kπ+

π

2

，k∈Z解得，2kπ+

π

4

≤2x≤2kπ+

5

4

π，即  kπ+

π

8

≤x≤kπ+

3

8

π，x≠kπ+

π

2

，k∈Z
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

π

2

)，(kπ+

π

2

，kπ+

5π

8

]，k∈Z…（8分）
（II）由x∈[

π

24

，

11π

24

]，可得2x+

π

4

∈[

π

3

，

7π

6

]
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，f（x）_max=f（

π

8

）=

2

-1．
當(dāng)2x+

π

4

=

7π

6

，即x=

11π

24

時，f（x）_min=f（

11π

24

）=-

2

2

-1…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的化簡與應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．